Неможливість математичного визначення

Неможливість математичного визначення изме­рений. Чому математика не відчуває вимірювань? Повна умовність зображення вимірюваньстепеня­ми. Можливість уявити собі всі ступені на лінії. Кант і Лобачевській. Відмінність неэвклидовой геометрії і метагеометрии. Де повинні ми шукати пояснення тривимірності миру, якщо вірні ідеїКанта? Чи не полягають умови тривимірності миру в нашому воспринимательЬном апараті, в нашій психіці?
Розібравши тепер «відносини, які несе в собі самому наш простір», ми повинні вер­нуться до питання про те, що в действительнос­тиж є вимірювання простору? І чому їх три?
Найдивнішим для нас повинне представлять­ся те, що ми не можемо визначити тривимірність математично.
Ми погано усвідомлюємо це, і це здається парадок­сом, тому що ми весь час говоримо об измере­нии простори, але це факт.Математика не чув­ствует протягів простору.
Виникає питання, як може таке тонке ору­дие аналізу, як математика, не відчувати изме­рений, якщо вони є якимись ре­альныевластивостями простору.
Кажучи про математику, ми перш за все повинні визнати, як основну передумову, що всякому математичному виразу відповідаєвідношення якихось реальностей.
Якщо цього ні, якщо це не вірно - то немає матема­тики. Це її головне єство, головний зміст. Виражати відносини, ось задачаматематики. Але відносини повинні бути між чим-небудь. Замість алгебри а ' і із завжди повинне бути можна підставити яку-небудь реальність. Це азбука всієї математики. А, ' і з - це кредитні квитки,вони можуть бути справжніми, і можуть бути фальшивими, якщо за ними немає ніякої реальності.
«Вимірювання» грають тут дуже дивну роль. Якщо ми зобразимо їх знаками алгебри а & і з, то вони матимуть характер фальшивихкре­дитных квитків. Ці а, b і з не можна замінити ника­кими реальними величинами які виражали б відносини вимірювань.
Звичайно зображають вимірювання ступенями, першої, другої і третьої, тобто якщо лінію назы­вают а, то квадрат, сторониякого рівні цій лінії, називають а2, і куб, сторони якого рав­ны цьому квадрату, називають а3.
Це, між іншим, дало підставу Хинтону будувати теорію тессарактов, тіл чотирьох измере­ний, а4. Але це чиста белетристика.Перш за все тому що зображення «вимірювань» ступенями абсолютно умовно. Всі ступені можна зобразити на лінії. Візьмемо відрізок а, рівний п'яти милли­метрам, - тоді відрізок в 25 міліметрів буде його квадратом, тобто а2; а відрізокв 125 милли­метров буде. кубом, тобто а3.
Як же зрозуміти, що математика не відчуває из­мерений, - тобто що математично не можна вы­разить різницю між вимірюваннями?
Це можна зрозуміти і пояснити тільки одним - саме, що цієї різниці не існує.
І дійсно, ми знаємо, що всі вимірювання в єстві тотожні, тобто кожне з трьох из­мерений можна по черзі розглядати, як пер­вое,як друге, як третє і навпаки. Це вже ясно доводить що вимірювання не є математи­ческие величини. Всі реальні властивості речі мо­гут бути виражені математично у вигляді величин,тобто числами, що показують відношення цих властивостей до інших властивостей.
Але математика в питанні про вимірювання бачить неначе більше нас або далі нас, через якісь грані, які зупиняють нас, алене стесня­ют її, - і бачить, що нашим поняттям вимірювань не відповідають ніякі реальності.
Якби три вимірювання відповідали дей­ствительно трьом ступеням, то ми мали б пра­во сказати, що тільки три ступені відносятьсядо геометрії, а вся решта відносин вищих ступенів, починаючи з четвертою, лежить за геомет­рией.
Але у нас немає навіть цього. Зображення измере­ний ступенями абсолютно умовно.
Вірніше сказати - геометрія з погляду ма­тематики є штучна побудова для разре­шения задач на умовних даних, виведених,ймовірно, з властивостей нашої психіки.
Систему дослідження «вищого простору» Хинтон називає метагеометрией, і він пов'язує з метагеометрией імена Лобачевського,Гауса і дру­гих дослідників неэвклидовой геометрії.
Ми повинні розглянути, в якому відношенні до зачепленим нами питань Знаходяться теорій цих учених.
Хинтон виводить свої ідеї з Канта і Лобачевс­кого.
Інші, навпаки, протиставляють ідеї Кан­та ідеям Лобачевського. Так, Роберто Бонола в «Не-евклідової геометрії» говорить,що переконання Лобачевського на простір протилежно кантівському. Він говорить:
Навчання Канта розглядає простір як не­которую форму суб'єктивного споглядання, необходи­мо передуючу всякому досвіду; навчанняЛобачев­ского» примикаюче швидше до сенсуалізму і обычно­му емпіризму повертає геометрію в область опыт­ных наук[1].
Який же погляд правильний і в якому відношенні стоять ідея Лобачевського до нашої проблеми? Вірніше всього буде сказати:ні в якому відношенні. Нєєвклідова геометрія не є метагеометрия, і неевк­лидова геометрія стоїть до метагеометрии в такомуж відношенні як Евклідова геометрія.
Результати всієї неэвклидовой геометрії, переоцінці, що піддала, основні аксіоми Евкліда і що знайшла свій якнайповнішийвираз в роботах Больяйя, Гауса і Лобачевського виражається у формулі: Аксіоми даної геометрії виражають властивості даного простору.
Так, геометрія на площині приймає всі три аксіоми Евкліда, тобто:
1) пряма лінія є найкоротша відстань між двома крапками;
2) кожну фігуру можна переносити на інше місце, не порушуючи її властивостей;
3) паралельні лінії не зустрічаються.
(Ця остання аксіома звичайно выражает­ся по Евкліду інакше)
В геометрії на сфері або на увігнутій поверхно­сти вірні тільки дві перші аксіоми, оскільки ме­ридианы паралельні у екваторау полюсів вже зустрічаються. Причому в геометрії на сфері сума трьох кутів трикутника більше двох прямих а в геометрії на увігнутій поверхні - менше двох прямих.
В геометрії на поверхні з неправильною кривизною вірна тільки перша аксіома, друга - про перенесення фігур, вже неможлива,оскільки фигу­ра, узята в одному місці неправильної поверхнос­ти, може змінитися при перенесенні на інше мес­то. І сума кутів трикутника може бути і більше, і менше двох прямих.
Таким чином, аксіоми виражають відмінність властивостей різного роду поверхонь. Геометри­ческая аксіома є закон даної поверхні.
Але що таке поверхня?
Заслуга Лобачевського в тому, що він знаходив не­обходимым переглянути основні поняття геомет­рии. Але він ніколи не йшовтак далеко, щоб пере­оценить ці поняття з погляду Канта. В той же час він ні в якому випадку не заперечував Проти Канта.Поверхня в думці Лобачевського як гео­метра, була тільки засобом узагальнення некото­рых властивостей, в яких будуваласята або інша геометрична система, або узагальненням властивостей даних ліній. Про реальність або нереальність по­верхностивін, ймовірно зовсім не думав.
Таким чином, з одного боку, абсолютно не має рації Бонола, який приписує Лобачевському переконання, протилежні кантівським,і бли­зость до «сенсуалізму» і «звичайного емпіризму», - а з другого боку, можна думати що Хинтон со­вершенно суб'єктивно приписує Гаусу і Лоба­чевскому, що вони відкрили нову еру у філософії.
Неевклідова геометрія, у тому числі і геометрія Лобачевського, не має ніякого відносини до метагеометрии.
Лобачевській не виходить з сфери трьох измере­ний.
Метагеометрія розглядає сферу трьох изме­рений як розріз вищого простору. З математиків ближче за всі до цієї ідеї стоявРіадан, по­нимавший відношення часу до простору.
Точка тривимірного простору є розріз метагеометрической лінії. Лінії» які рассмат­ривает метагеометрия, не можна узагальнитині в якій поверхні. Це останнє, можливо, найважливіше для визначення відмінності геометрії (эвк­лидовой і неэвклидовой) і метагеометрии. Метагеометрічеськіє лінії не можна розглядати як рас­стояние між крапкамив нашому просторі. І не можна уявити собі створюючою які-небудь фігури в нашому просторі.
Розгляд можливих властивостей ліній, лежа­щих зовні нашого простору, їх кутів і отноше­ний цих ліній і кутів до ліній,кутів, поверх­ностям і тілам нашої геометрії і складає предмет метагеометрии.
Дослідники неэвклидовой геометрії не мог­ли зважитися відійти від поверхні. В цьому є щось прямо трагічне. Подивіться, якіпо­верхности придумував Лобачевській при своїх ис­следованиях 11-го постулату Евкліда (про парал­лельных лінії тобто власне про кути, об­разуемых лінією» перетинаючої дві параллель­ные) - одна з його поверхонь схожа на поверхню лопатейвентилятора[2] інша на поверхню воронки. Але відійти від поверхні зовсім, кинути її раз л назавжди, уявити собі, що лінія може бути не наповерхні тобто що ряд ліній паралельних або близьких до паралельних не може бути узагальнений ні в ка­кой поверхні і навіть взагалів тривимірному про­странстве, - він не міг зважитися. І тому - і він і дуже багато інших геометри створюючи неэвклидову геометрію, не могли вийти з трехмерно­го світу.
Механіка визнає лінію в часі, тобто таку лінію, яку ніяк не можна уявити собі на поверхні або як відстань між дву­мя точкамипростору, - ця лінія береться в розрахунок при обчисленні машин. Але геометрія ни­когда не торкалася цієї лінії і мала справу завжди тільки з її розрізами.
Тепер ми повинні повернутися до питання: що таке простір? - і подивитися, чи відповіли ми на це питання.
Відповіддю було б точне визначення і объясне­ние тривимірності простору.
Цього ми зробити не могли. Тривимірність про­странства залишилася для нас такою ж загадковою і незрозумілою, як раніше. Повідношенню до неї ми повинні зробити одне з двох: або прийняти її як дане і додати це дан­ное до тих двох даних які ми встановили спочатку; або визнати неправильність нашого методу рас­суждения і спробувати інший метод.
Взагалі кажучи, виходячи з прийнятих нами двох основних даних миру і свідомості, ми повинні встановити, властивістю чогоє тривимірний простір, властивістю миру або властивістю на­шего пізнання миру.
Почавши з Канта, який затверджує, що про­странство є властивість сприйняття миру нашою свідомістю, ми далі відхилилисявід цієї ідеї і розглядали простір як властивість миру.
Ми допустили разом з Хинтоном, що наш простір в самому собі несе умови, які дозволяють нам встановити його відносини до выс­шемупростору, і на підставі цього предпо­ложения побудували цілий ряд аналогій дещо з'ясували для нас в питаннях простору і часу і їх взаємних відносин, але, як ми вже помітили, нічого що не роз'яснилиотноси­тельно головного питання про причини трехмернос­ти простору.
Метод аналогій взагалі досить болісна річ. Ви ходите з ним по замкнутому кругу. Він допомагає з'ясувати деякі речі і відносиниве­щей, але в єстві ніколи і ні на що не дає прямої відповіді. Після довгих і численних спроб розібратися в складних питаннях при по­мощи аналогій, ви відчуваєте марність всіх ва­ших зусиль,відчуваєте, що з цими аналогіями ходите уздовж стіни - і тоді ви починаєте испы­тывать прямо ненависть і огида до аналогій і шукати прямого шляху, безпосередньо провідноготуди, куди вам потрібно.
Якщо ми хочемо йти прямим шляхом, не уклоня­ясь від нього, ми повинні строго триматися основних положень Канта. Якщо ж миз погляду цих положень формулюємо приведену вище думку Хинтона то вийде наступне: ми в собі самих несемо умови нашого простору і тому в собі ж повинні знайти умови, які дозволяли б намвстановити відносини нашого простору до вищого.
Інакше кажучи, ми повинні в нашій психіці, в нашому воспринимательном апараті знайти умови тривимірності миру - і там жезнайти умови воз­можности миру вищих вимірювань.
Поставивши собі таку задачу, ми стаємо на абсолютно прямий шлях і повинні буде отримати відповідь на наше питання: що такепростір і його тривимірність?
Яким чином можемо ми підійти до рішення цієї задачі?
Абсолютно ясно, що шляхом вивчення нашої свідомості і його властивостей. Ми звільнимося від всяких аналогій і станемо направильний і прямий шлях до рішення основного питання про об'єктивність або суб'єктивність простору якщо вирішимо рассмот­реть психічні форми, в яких нами познает­ся мир, - і подивитися чи немає відповідності між ними і тривимірноюпротяжністю миру. Тобто чи не витікає з відомих нам властивостей нашої психіки це представлення тривимірної протяжен­ности миру з його властивостями.